Η διατριβή χωρίζεται σε τρία ανεξάρτητα μέρη. Το πρώτο μέρος είναι αφιερωμένο σε ποσοτικές εκδοχές του Θεωρήματος Helly. Δίνουμε πολυωνυμικές εκτιμήσεις τόσο στο ποσοτικό Θεώρημα που αφορά τον όγκο, όσο και τη διάμετρο, δείχνοντας ένα νέο γενικό ποσοτικό αποτέλεσμα εγκλεισμού. Ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι οι μέθοδοι αραιοποίησης και μία καινούργια προσεγγιστική ανισότητα Brascamp Lieb. Στο δεύτερο μέρος αποδεικνύονται νέες τοπικές ανισότητες για τον όγκο των τομών κυρτού σώματος με κύριους υποχώρους, τύπου Loomis Whitney. Με βάση τις παραπάνω, βρίσκουμε φράγματα για το συναρτησοειδές μέση τομής. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, αποδεικνύουμε ένα αλγοριθμικό λήμμα κανονικότητας για αραιούς πίνακες κάτω από κάποια συνθήκη. Παρόλο που πρόκειται για ένα αλγοριθμικό συνδυαστικό αποτέλεσμα, οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι από την Ανάλυση.