Ιδιαίτερα ενδιαφέρον είναι εκείνο το τμήμα της Διαφορικής Γεωμετρίας που αναφέρεται στη μελέτη προβλημάτων που έχουν "ολικό" χαρακτήρα. ΄Ετσι, στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Διαφορικής Γεωμετρίας, μπορούν να μελετηθούν π.χ. οι κλειστές καμπύλες. Ακριβώς αυτό είναι και το θέμα της παρούσας εργασίας. Για λόγους οικονομίας χώρου, θα εξαιρεθούν από τη μελέτη μας οι επίπεδες κλειστές καμπύλες. Ο χώρος, εντός του οποίου θα εργασθούμε, είναι ο Ευκλείδειος χώρος Rn(n 3).Ένα από τα πρώτα σπουδαία συμπεράσματα της θεωρίας των κλειστών καμπυλών του χώρου R3 υπήρξε ένα θεώρημα του W. Fenchel (1929), το οποίο καθόριζε τον αριθμό 2π ως το κατώτερο φράγμα της ολικής καμπυλότητας μιας τέτοιας καμπύλης. Το θεώρημα αυτό απεδείχθη αργότερα και από άλλους μαθηματικούς με διαφορετικούς τρόπους. Με το ίδιο θέμα ασχολήθηκαν και οι Μ.I. Fary (1949) και J.W. Milnor (1950), θεωρώντας κλειστές καμπύλες του χώρου R3 με έναν ή περισσότερους κόμβους. Γενίκευση του θεωρήματος του Fenchel για κλειστές καμπύλες του χώρου Rn (n 3) δόθηκε για πρώτη φορά από τον Κ. Borsuk (1947). Ειδικά οι σφαιρικές κλειστές καμπύλες του χώρου R3 υπήρξαν αντικείμενο μελέτης από τον J.L. Weiner (1974, 1977). Ένα άλλο ενδιαφέρον θέμα της θεωρίας των κλειστών καμπυλών είναι και οι εγκάρσιες (athwart) κλειστές καμπύλες. Οι τελευταίες μελετήθηκαν από τον F.J. Craveiro de Carvalho στη Διδακτορική του Διατριβή (βλ.[9]). Η παραπάνω θεματική αποτελεί το περιεχόμενο της εργασίας αυτής. Eιδικότερα: Στο εισαγωγικό Κεφάλαιο Ι αναφέρονται μερικές βασικές έννοιες της θεωρίας καμπυλών του χώρου R3 (τύποι Frenet, σφαιρικές δείκτριες κλπ.) καθώς και το θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης της θεωρίας καμπυλών. Η ανάπτυξη του θέματος της Διπλωματικής Εργασίας γίνεται στο Κεφάλαιο ΙΙ, το οποίο αποτελείται από οκτώ παραγράφους. Στην πρώτη παράγραφο αποδεικνύεται το θεώρημα του Fenchel, ακολουθώντας την απόδειξη του Η. Liebmann (βλ. π.χ. [36]). Στις παραγράφους 2 και 3 μελετάται η ολική καμπυλότητα μιας κλειστής καμπύλης με έναν ή περισσότερους κόμβους στο χώρο Rn. Στην παράγραφο 4 αποδεικνύεται ότι η ολική στρέψη μιας σφαιρικής κλειστής καμπύλης ισούται με μηδέν. Στην παράγραφο 5 γίνεται μελέτη των κλειστών καμπυλών με σταθερή στρέψη, ενώ στην παράγραφο 6 αναφέρονται ορισμένες ιδιότητες των κλειστών σφαιρικών καμπυλών. Οι εγκάρσιες κλειστές καμπύλες αποτελούν το αντικείμενο της παραγράφου 7. Τέλος, στην παράγραφο 8 αποδεικνύεται μία γενίκευση του θεωρήματος του Fenchel (για κλειστές καμπύλες του χώρου Rn), η οποία οφείλεται στον M. Rochowski (1969). Ε Ε